কোনও ফাংশন সমানভাবে অবিচ্ছিন্ন থাকলে কীভাবে তা বলবেন


উত্তর 1:

একটি নির্দিষ্ট পয়েন্টে ধারাবাহিকতা একটি গেমের মতো: কেউ আপনাকে নির্দিষ্ট টার্গেট যথার্থতার মধ্যে থাকার জন্য চ্যালেঞ্জ জানায়, আপনি পি এর আশেপাশে একটি ছোট অঞ্চল খুঁজে পেয়ে প্রতিক্রিয়া জানান যার মধ্যে ফাংশনটি সেই নির্ভুলতার বাইরে চলে না। যদি আপনি এই গেমটি জিততে পারেন তবে আপনার প্রতিপক্ষ যতটা শক্ত করে তা নিশ্চিত করে না, ফাংশনটি সেই নির্দিষ্ট পয়েন্টে অবিরত থাকে P

আপনি যদি ভিন্ন বিন্দু Q এ ধারাবাহিকতা পরীক্ষা করতে চান তবে গেমটি আবার শুরু হয়। বিরোধী চ্যালেঞ্জ, আপনি প্রতিক্রিয়া। পি এর আশেপাশের গেমটিতে আপনার প্রতিক্রিয়া পি এর কাছাকাছি থাকা আপনার প্রতিক্রিয়া থেকে সম্পূর্ণ আলাদা হতে পারে ভিন্ন অঞ্চল, ফাংশনটি সেখানে আলাদাভাবে আচরণ করতে পারে, এটি একটি নতুন গেম। আপনি যদি এই গেমটিও জিতেন তবে ফাংশনটি Q এও অবিচ্ছিন্ন থাকে।

আপনি যদি কিছু অঞ্চল এ এর ​​সমস্ত পয়েন্টের চারপাশে এই জাতীয় সমস্ত খেলাগুলি জিততে পারেন তবে ফাংশনটি পুরো এ জুড়েই অবিচ্ছিন্ন থাকে তবে আপনি সেই গেমগুলি যেভাবে জিতবেন তা আবারও এ এর ​​বিভিন্ন পয়েন্টের জন্য আলাদা হতে পারে can

অভিন্ন ধারাবাহিকতা এটিকে ঘিরে: আমরা এখন পুরো অঞ্চল এ এর ​​জন্য একটি শটে একক হাই-স্টেকস গেম খেলছি। আপনার প্রতিপক্ষ আপনাকে নির্ভুলতার সাথে চ্যালেঞ্জ জানায়, আপনি এমন কিছু ব্যাসার্ধ খুঁজে বের করে প্রতিক্রিয়া জানান যা অঞ্চলের মধ্যে যে কোনও পয়েন্ট পি এর চারপাশে কাজ করতে হয় That একই ব্যাসার্ধটি অবশ্যই ফাংশনটিকে কোথাও অনুমোদিত নির্ভুলতার বাইরে ভ্রষ্ট না করে তুলবে।


এখানে একটি সাধারণ উদাহরণ। Y = 3x এর মতো একটি সাধারণ ফাংশন নিন এবং এর গ্রাফটি দেখুন।

এটা কি একটানা? অবশ্যই আপনি আমাকে যে কোনও বিন্দুর আশেপাশে, যদি আমি ফাংশনটি \ frac rac 1} {10 than এর চেয়ে বেশি না ঘুরে দেখতে চাই তবে আমি কেবলমাত্র সূচনা বিন্দুর \ frac {1} {30 within এর মধ্যে থাকব। ভেরিয়েবলটি \ frac {1} {30 than এর বেশি না করে frac {1} {10 than এর বেশি করে ফাংশনটি পরিবর্তন না করার গ্যারান্টিযুক্ত} অবশ্যই, একই জিনিসটি \ frac {1} {100} বা আরও ছোট নির্ভুলতার জন্য সত্য।

আসলে, একবার আপনি আমাকে বলছেন যে আমার প্রতিবন্ধকতা কী, আমি কেবল এটি 3 দ্বারা বিভক্ত করি এবং এটি যে ব্যাসার্ধটি সর্বত্র কাজ করবে। আপনার কৌশল যেখানেই চান একই কৌশল গেমটি জিতছে। সুতরাং এই ফাংশন অভিন্ন ধারাবাহিক।

Y = \ frac {1} {x} ফাংশনটির সাথে এটি তুলনা করুন} এই ফাংশনটি এমন কোনও অঞ্চলে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যা x = 0 কে বাদ দেয় না, সুতরাং সরলতার জন্য আসুন A = ​​(0,10) নেওয়া যাক, 0 থেকে 10 একচেটিয়া জন্য উন্মুক্ত ব্যবধান।

কাজটি কি অবিচ্ছিন্ন? এটি অবশ্যই এটির মতো দেখাচ্ছে। এটি কি এক্স = 5 এ অবিচ্ছিন্ন? হ্যাঁ, এবং এটি বেশ সমতল; মানগুলির জন্য যদি আপনার \ frac {1} {10 of এর নির্ভুলতা প্রয়োজন হয় তবে আপনি কেবল পরিবর্তনশীলটি = frac {1} {10 within এর মধ্যেও x = 5 এর মধ্যে রাখতে পারেন।

X = \ frac {1} {8} কখন কেমন? ফাংশনটি এখনও সেখানে অবিচ্ছিন্ন, তবে slাল এখন খুব খাড়া। সেটির মান y = f (\ frac {1} {8}) = 8, এবং যদি আমাকে সেই মানটির \ frac {1} {10 within এর মধ্যে থাকতে হয় তবে আমার অবশ্যই অবশ্যই 8 \ এর পুনঃপ্রদানের মধ্যে আমার পরিবর্তনশীল রাখতে হবে frac {1} {10} এবং 7 \ frac {9 {{10}, প্রায় 0.124 এবং 0.126 এর মধ্যে। আমি এটি করতে পারি, তবে এটি সত্যই একটি খুব সংকীর্ণ পরিসীমা: দশমকে মানটি নাড়াতে রাখার জন্য আমাকে এক হাজারতম পরিসরের মধ্যে পরিবর্তনশীল সীমাবদ্ধ করতে হবে। আবার, আপনি যদি কেবল গ্রাফটি দেখেন তবে অবাক হওয়ার কিছু নেই: ফাংশনটি খুব খাড়া, সুতরাং ইনপুটটির ক্ষুদ্রতর পরিবর্তনের ফলে আউটপুটটিতে বিশাল প্রভাব পড়ে।

সংক্ষেপে, y = rac frac {1} {x the ফাংশনটি প্রকৃতপক্ষে অন্তর (0,10) জুড়ে অবিচ্ছিন্ন থাকে (বাস্তবে এটি নির্ধারিত যে কোনও স্থানেই এটি অবিচ্ছিন্ন) তবে এটি উন্মুক্ত ব্যবধানে অভিন্ন ধারাবাহিক নয় কারণ বিভিন্ন স্থানে চ্যালেঞ্জগুলি পয়েন্টগুলির বিভিন্ন প্রতিক্রিয়া প্রয়োজন।


এই বিষয়গুলিকে আরও আনুষ্ঠানিকভাবে বর্ণনা করতে, এই দুটি সংজ্ঞাটি তুলনা করুন:

  1. ধারাবাহিকতা: এ এবং যে কোনও \ এপসিলন> 0 এর জন্য প্রতিটি x_0। এর জন্য কিছু \ ব-দ্বীপ> 0 থাকে যা f (x) f (x_0) এর \ এপসিলনের মধ্যে থাকে যখনই x x x এর \ ব-দ্বীপের মধ্যে থাকে।
  2. অভিন্ন ধারাবাহিকতা: যে কোনও \ অ্যাপসিলন> 0 এর জন্য কিছু \ ব-দ্বীপ> 0 রয়েছে যা প্রতিটি x_0 A এ এ, ফ (এক্স) এর মধ্যে ((এক্সটি) এর ps ইপসিলনের মধ্যে থাকে যখনই x এক্স এর x \ ব-দ্বীপের মধ্যে থাকে।

প্রথম সংজ্ঞায়, _0 ডেল্টা সরবরাহ করতে হবে x_0 এবং \ এপসিলন। অন্য কথায়, এটি তাদের উভয়ের উপর নির্ভর করে। অবশ্যই আপনার একটি ছোট \ ডেল্টা আরও ছোট ps এপসিলন প্রয়োজন তবে আপনি x_0 বিভিন্ন স্থানে একটি ভিন্ন \ ডেল্টা সরবরাহ করতে পারেন। দ্বিতীয় সংজ্ঞায়, আপনার আর সেই বিলাসিতা নেই: \ ডেল্টা কেবলমাত্র \ এপসিলনের উপর নির্ভর করতে হবে এবং প্রতিটি x_0 এর জন্য সর্বত্র কাজ করতে হবে। এটি ধারাবাহিকতা এবং অভিন্ন ধারাবাহিকতার মধ্যে পার্থক্য।


উত্তর 2:

সাধারণ লোকের জন্য? সুতরাং আমি কম গাণিতিক শর্তাবলী এবং সংজ্ঞা সহ কয়েকটি শব্দ ব্যবহার করব।

ধারাবাহিকতা বা অভিন্ন ধারাবাহিকতার জন্য, ফাংশনের গ্রাফ পর্যবেক্ষণ করা সহজতম উপায়।

অবিচ্ছিন্ন বা না পরীক্ষা করা যায় কেবল বিন্দুতে বক্ররেখা বিরতি দেখে, ব্যাখ্যা করার প্রয়োজন নেই।

ইউনিফর্মের ধারাবাহিকতা এতটা সহজ নয়। "অভিন্ন" ধারাবাহিক, শিরোনাম কিছু বলে? ঠিক আছে, আমরা একা অবিচ্ছিন্ন বক্ররেখায় অভিন্ন ধারাবাহিকতার সন্ধান করছি, যদি আপনি হঠাৎ হ্রাস বা বক্ররেখা বৃদ্ধি দেখেন তবে ধারাবাহিকতাটি অভিন্ন নয় (বক্ররেখাগুলিতে হঠাৎ খাড়া হওয়া বট হয় তাই আবেদনময়ী অধিকার?)।

এটাই পার্থক্য। আকস্মিক ধারাবাহিকতায় কার্ভগুলির মধ্যে হঠাৎ বৃদ্ধি বা হ্রাস গ্রহণযোগ্য নয়, অন্যদিকে হঠাৎ বৃদ্ধি বা হ্রাস সহ যদি এই বক্ররেখা কোনও ভাঙন না ঘটে তবে বাঁকটি কেবল "অবিচ্ছিন্ন" হয়। এই হঠাৎ উদ্বেগ বা হ্রাস ক্রমাগত চলমান বক্ররেখার অভিন্নতা বিরক্ত করে। আপনি ডোমেইনে f (x) = \ frac = 1} {x} এর বক্ররেখাতে দেখতে (0,1)। এক্স অক্ষগুলি ডান দিক থেকে 0 এ পৌঁছানোর সাথে সাথে বক্ররেখা তাত্পর্যপূর্ণভাবে বৃদ্ধি পায় যা অভিন্নতার বাইরে a আমাদের এখানে কোন ভাঙ্গা? না। সুতরাং এটি অবিচ্ছিন্ন তবে অভিন্ন ধারাবাহিক নয়

সমস্ত অভিন্ন ধারাবাহিক বক্ররেখা অবিচ্ছিন্ন, তবে বিপরীতটি সত্য নয়।


উত্তর 3:

কোনও ক্রমাগত ধারাবাহিকতা নিখুঁতভাবে একটি স্থানীয় সম্পত্তি, যেখানে অভিন্ন ধারাবাহিকতা একটি বিশ্বব্যাপী সম্পত্তি যা পুরো জায়গার উপরে প্রয়োগ হয়। অভিন্ন ধারাবাহিক ক্রিয়া অবিচ্ছিন্ন, তবে কনভার্সটি প্রযোজ্য নয়।

উন্মুক্ত ব্যবধানে (0,1) ফাংশনগুলি f (x) = x এবং g (x) = 1 / x উভয়ই অবিচ্ছিন্ন, তবে জি অভিন্ন ধারাবাহিক নয়।

উইকিপিডিয়া থেকে:

ভিতরে

অংক

, ক

ফাংশন

হয়

অভিন্ন ধারাবাহিক

যদি মোটামুটিভাবে বলতে হয়, এটির গ্যারান্টি দেওয়া সম্ভব

(

এক্স

) এবং

(

y

) কেবলমাত্র এটির প্রয়োজনীয়তার দ্বারা আমরা দয়া করে একে অপরের নিকটবর্তী হই

এক্স

এবং

y

একে অপরের কাছাকাছি পর্যাপ্ত; সাধারণ ধারাবাহিকতার বিপরীতে, সর্বোচ্চ দূরত্ব

এক্স

এবং

y

উপর নির্ভর করতে পারে না

এক্স

এবং

y

নিজেদের. উদাহরণস্বরূপ, যে কোনও

isometry

(দূরত্ব সংরক্ষণের মানচিত্র) এর মধ্যে

মেট্রিক স্পেস

অভিন্ন ধারাবাহিক। মেট্রিক স্পেসগুলির মধ্যে প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন ক্রমাগত ফাংশন

একটানা

। অবিচ্ছিন্ন ধারাবাহিকতা, ধারাবাহিকতার বিপরীতে, আকারগুলির তুলনা করার দক্ষতার উপর নির্ভর করে

পাড়া

প্রদত্ত স্থানের স্বতন্ত্র পয়েন্টের। নির্বিচারে

টপোলজিকাল স্পেস

, আশেপাশের আকারগুলির তুলনা করা সম্ভব নাও হতে পারে।


উত্তর 4:

না, তারা এক নয়।

সাধারণভাবে, ধারাবাহিকতার জন্য ডেল্টা উভয় ps অ্যাপসিলন এবং এক্স উপর নির্ভর করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি f (x) = x ^ 2 হয়, আপনার প্রদত্ত \ এপসিলনের জন্য x = 10 যখন x = 0 এর চেয়ে অনেক ছোট \ ডেল্টা দরকার।

কোনও ফাংশন যদি অভিন্ন ধারাবাহিক থাকে তবে, \ ডেল্টা কেবলমাত্র \ এপসিলনের উপর নির্ভর করে, এবং এক্স-এর উপর নয়। অথবা, আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, আমরা ডোমেনের প্রতিটি এক্সের জন্য কাজ করে এমন প্রতিটি \পিসিলনের জন্য একটি \ ডেল্টা খুঁজে পেতে পারি। (আমরা সম্ভবত বিশেষ এক্স এর জন্য আরও ছোট \ ডেল্টাস সন্ধান করতে সক্ষম হব, তবে তাতে কিছু আসে যায় না))


উত্তর 5:

এখানে সহজ ব্যাখ্যা:


উত্তর 6:

আমি বিশ্বাস করি উইকিপিডিয়া থেকে প্রাসঙ্গিক গাণিতিক তথ্যের নিম্নলিখিত লিঙ্কটি অবিচ্ছিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন ক্রিয়াকলাপের মধ্যে পার্থক্য সম্পর্কিত আপনার প্রশ্নের উত্তর দেয়।

http://en.wikedia.org/wiki/Uniform_continuity

উত্তর 7:

দুটোই এক।